Dreikörperproblem (21391)

Das Drei­kör­per­pro­blem galt seit den Ent­de­ckun­gen von Jo­han­nes Kep­ler und Ni­ko­laus Ko­per­ni­kus als eines der schwie­rigs­ten ma­the­ma­ti­schen Pro­ble­me, mit dem sich im Laufe der Jahr­hun­der­te viele be­kann­te Ma­the­ma­ti­ker wie Ale­xis-Clau­de Clai­raut, Le­o­n­hard Euler, Jo­seph-Louis La­gran­ge, Thor­vald Ni­co­lai Thie­le, Ge­or­ge Wil­li­am Hill und Henri Poin­ca­ré be­schäf­tig­ten. Im all­ge­mei­nen Fall er­folgt die Be­we­gung chao­tisch und kann nur nu­me­risch be­rech­net wer­den.

(...)

Das Zwei­kör­per­pro­blem ist durch die Kep­ler’­schen Ge­set­ze ana­ly­tisch lös­bar. Da­ge­gen sind die In­te­gra­le im Fall von mehr als zwei Him­mels­kör­pern keine al­ge­brai­schen In­te­gra­le mehr und nicht mehr mit ele­men­ta­ren Funk­ti­o­nen lös­bar. Karl Fri­thiof Sund­man konn­te An­fang des 20. Jahr­hun­derts als Ers­ter eine ana­ly­ti­sche Lö­sung des Drei­kör­per­pro­blems in Form einer kon­ver­gen­ten Po­tenz­rei­he an­ge­ben, unter der An­nah­me, dass der Ge­samtdre­h­im­puls des Sys­tems nicht ver­schwin­det und es des­halb nicht zu einem Drei­er­stoß kommt, bei dem der Ab­stand aller drei Kör­per Null be­trägt. Für prak­ti­sche Be­rech­nun­gen ist Sund­mans Lö­sung al­ler­dings nicht brauch­bar, da bei der Summe min­des­tens 10 hoch 8.000.000 Terme be­rück­sich­tigt wer­den müss­ten, um eine hin­rei­chen­de Ge­nau­ig­keit zu er­zie­len.

Die Sta­bi­li­tät eines Drei­kör­per­sys­tems wird durch das Kol­mo­go­row-Ar­nold-Moser-The­o­rem be­schrie­ben.

Nä­he­rungs- oder ex­ak­te Lö­sun­gen sind in man­chen Fäl­len mög­lich:

• Wenn die Masse eines der Him­mels­kör­per klein ist, dann löst man das Drei­kör­per­pro­blem ite­ra­tiv, heut­zu­ta­ge mit Com­pu­tern, oder be­rech­net Bahn­stö­run­gen, die der kleins­te (leich­tes­te) Kör­per durch die grö­ße­ren (schwe­re­ren) er­lei­det.
• Exakt lös­bar ist der schon er­wähn­te Son­der­fall des Gleich­ge­wichts der An­zie­hungs­kraft zwei­er gro­ßer (schwe­rer) Kör­per auf einen ver­schwin­dend klei­nen (leich­ten) Kör­per (unter Be­rück­sich­ti­gung der im sich dre­hen­den Be­zugs­sys­tem auf­tre­ten­den Schein­kräf­te) in den La­gran­ge-Punk­ten L₁ bis L₅. Der in­ne­re Punkt L₁ wird bei­spiels­wei­se in der Raum­fahrt zur Son­nen­for­schung ver­wen­det. Das Son­nen­ob­ser­va­to­ri­um SOHO be­fin­det sich dort. Das In­fra­rot-Te­le­skop JWST von NASA, ESA und CSA be­fin­det sich auf einer Um­lauf­bahn um den La­gran­ge-Punkt L₂.
• Für den Fall drei­er glei­cher Mas­sen gibt es eine Lö­sung, bei der die Ob­jek­te auf einer ge­mein­sa­men Bahn, die die Form eines Un­end­lich­zei­chens ( ∞ ) hat, hin­ter­ein­an­der her­lau­fen.

Quel­le: https://de.wi­ki­pe­dia.org/wiki/Dreik%C3%B6r­per­pro­blem